5장: 확률

Reporting Date: July. 8, 2024

 

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통계적인 추론을 통해서도 모집단에 대한 다양한 정보를 얻을 수 있다.
그 통계적 추론의 기초가 되는 확률이론에 대해 다루고자 한다.

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1 .   사 건 의  확 률

동일한 조건하에서  "한 가지 실험을 반복할 때,"
전체 실험 횟수에서 그 사건이 일어나리라고  "예상되는 횟수의 비율" 을 말한다. 

사건을  A 라고 하면,  사건  A 의 확률은  P ( A ) 로 표시한다.

 

 

1 - 1 .  표 본 공 간  ( Sample  Space:  Ω )
한 실험에서 나올 수 있는 모든 결과들의 모임.

• 유한표본공간 ( Finite Sample Space )

 

주사위 던지기의 표본공간

 

• 연속표본공간 ( Continuous Sample Space )

 

0과 1 사이의 모든 실수

 

 

 

1 - 2 .  근 원 사 건  ( Elementary  Outcomes:  ω ₁ ,  ω ₂  … )
표본공간을 구성하는 개개의 결과.

주사위 던지기의 근원사건

 

 

 

1 - 3 .  사 건  ( Event:  A,  B,  … )
표본공간의 부분집합으로,  어떤 특성을 갖는 결과들의 모임 ( = 근원사건들의 집합)

주사위 던지기의 사건 A, B

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2 .   확 률 의  법 칙

위 정의로부터 확률의 특성을 유추할 수 있다.

1. 사건  A 가 일어날 확률은,   사건  A 에 속하는 근원사건이 일어날 확률의  "합" 과 같다.
2. Ω 를 하나의 사건이라고 하면,  이 사건은 "반드시" 일어나므로 확률은   "1" 이 되어야 한다.

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3 .   확 률 의  계 산

3 - 1 .  균 일  확 률

주사위 던지기에서, 각 숫자가 나올 확률

Ω 가  k 개의 원소로 이루어져 있고, 각 근원사건이 일어날 가능성이  "동일" 하다고 가정할 때,
근원사건 중 하나가 일어날 확률은  1 / k 로 주어진다.

또 사건  A 가  m 개의 근원사건으로 이루어져 있다면,
사건  A 가 일어날 확률은 위와 같다.

 

 

3 - 2 .  상 대 도 수  수 렴 치 로 서 의  확 률

주사위를 60번 던져 10번 2가 나왔을 때, 2가 나올 확률

동일한 실험  N 회를 반복할 때,   사건  A 의 상대도수는 위와 같이 표현된다.

N 이 증가함에 따라 상대도수가  "일정한 값으로 수렴" 한다면,
그 값으로 사건  A 가 일어날 확률  P ( A ) 를 추정한다.

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4 .   확 률  법 칙

1. 여 사 건 ( Complementary  Event ): 사건  A 가 일어나지 않는 사건
2. 합 사 건 ( Sum  Event ): 사건  A  또는  B 가 일어나는 사건
3. 곱 사 건 ( Product  Event ): 사건  A  또는  B 가 동시에 일어나는 사건
4. 배 반 사 건 ( Exclusive  Event ): 두 사건이 동시에 일어날 수 없는 경우

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5 .   조 건 부  확 률  ( Conditional  Probability )

한 사건의 결과가 다른 사건의 발생에  "영향을 미치는 확률" .

 

사건 B가 발생했을 때, 사건 A가 발생할 확률:

 

곱 사 건 의  확 률  법 칙  ( Multiplication  Rule  for  Probability )

두 사건이 동시에 발생할 확률을 계산하는 방법.
이 법칙은 두 사건이 독립적인지 여부에 따라 다르게 적용된다:

 

 

5 - 1 .   표 본 공 간 의  분 할  ( P a r t i t i o n )

사건  A₁,  A₂,  …,  An 이 서로 배반사건이고,   Ω  =  A₁ ∪ … ∪ An 일 때, 
사건  A₁,  A₂,  …,  An 을  Ω 의 분할이라고 한다:

이때, 각각의 부분집합은 서로 겹치지 않는다:

예시:   주사위를 던지는 실험에서,   Ω 를 두 개의 부분집합으로 나눌 수 있다.

• A₁ ​:  홀수가 나오는 경우 { 1,  3,  5 }
• A₂ ​:  짝수가 나오는 경우 { 2,  4,  6 }
  
  

이 경우,   Ω 는 다음과 같이 표현된다:

 

 

5 - 2 .   총 확 률 의  법 칙  ( Law  of  Total  Probability )

"표본공간의 분할"  개념을 사용하여 전체 확률을 계산하는 방법.

 

사건  A₁,  A₂, …, An 이 표본공간의 분할일 때, 
임의의 사건  B 의 확률  "P(B)"  는 다음과 같이 계산할 수 있다:

 

이를 조건부 확률 ( 종속사건 ) 을 사용하여 다시 쓰면:

 

예시:   사건  B 를  "주사위 눈이  4 이하인 사건" 으로 정의하면,

• P(B) = P({ 1,  2,  3,  4 }) = ⅔
• P(A₁)​ = P({ 1,  3,  5 }) = ½
• P(A₂)​ = P({ 2,  4,  6 }) = ½

이 경우,   P ( B ) 는 다음과 같이 표현된다:

각 확률 값을 대입해보면:

 

 

5 - 3 .   베 이 즈  정 리  ( Bayes'  rule )

사건  A₁,  A₂,  …,  An 이   Ω 의 분할일 때,
임의의 사건  B 에 대하여 다음 식이 성립한다:

예시:   사건  B 가 발생한 후,  사건  A₁ ​ 이 발생할 확률:

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Symbols (wumbo.net)
참고용 블로그: 작은 숫자 특수문자 첨자 및 분수숫자 모음

교제: 통계학: 파이썬을 이용한 분석

 

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